나비에 스토크스 방정식 (Navier-Stokes equation)은 점성과 탄성이 없는 뉴턴 유체 (Newtonian fluid)에 대한 운동량 보존법칙으로 (momentum-balance equation) 비선형 편미분 방정식입니다 (속도에 대한 시간과 공간에 대한 미분 항이 한 방정식에 모두 포함됨).
오늘은 유체역학에서 가장 중요하다고 할 수 있는 나비에 스토크스 방정식 (Navier-Stokes equation)에 대해 쉽게 설명 드리겠습니다.
개요 및 설명
유체역학의 가장 기본이 되는 지배방정식으로, 물과 공기를 비롯한 밀도와 점성을 가진 거의 대부분의 연속체 (continum)의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식입니다.
나비에 스토크스 방정식은 우리가 잘 알고 있는 뉴턴 제 2법칙인 F = ma를 유체역학적으로 풀이 한 것입니다. Fluids는 고체 (rigid body)와 달리 특정한 형태가 없기 때문에 힘 (stress)을 받으면 전단 (strain)이 발생됩니다(= 찌그러집니다).
유체역학에서 가장 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지 입니다. 이 세 가지 물리량 보존 법칙이 유체역학의 가장 기본이 되는 지배 방정식들로, 그 중 가장 복잡하고 중요한 것이 나비에 스토크스 방정식입니다.
기계공학, 항공우주, 화학공학, 해양공학 등에서 접할 수 있으며, 우리 몸의 혈류부터, 비행기, 선박, 자동차 등과 같이 매우 큰 스케일까지 모두 적용 가능합니다. 그렇기 때문에 나비에 스토크스 방정식의 엄밀해 (exact solution)을 구하게 된다면, 엄청난 에너지 효율을 얻을 수 있겠죠.
문제는 이 방정식이 지금까지 알려진 그 어떤 수학적, 이론적 방법으로도 해를 구할 수 없습니다. 이 식의 엄밀해를 구하는 것인 ‘Navier-Stokes existence and smoothness’라는 이름으로 밀레니엄 난제로 선정될 정도입니다.
나비에 스토크스 방정식 유도
∂u/∂t + u ⋅ ∇u = -∇p/ρ + ν∇²u + F equation (1)
- u, velocity
- p, pressre
- ρ, density
- ν, viscosity
- F, body force (e.g., gravity)
위 equation (1)이 나비에 스토크스 방정식의 최종 형태입니다.
Equation (1)에서 점성 항을 제외한 (4번째 term, viscosity) 오일러 방정식 (Euler equation)에서 시작해 봅시다.
ρ(∂u/∂t + (u ⋅ ∇)u) = -∇p + ρg equation (2)
단위는 단위 밀도 당 힘 즉, force density라고 생각하면 됩니다. F= ma에서 좌변을 F, 우변을 ma 정도로 생각해 주면 됩니다. 그렇다면 점성 (viscosity)에 의한 힘의 contribution은 어떻게 표현 할 수 있을까요? 정답은 ∇⋅τ입니다 (τ, 3-by-3 matrix stress tensor).
왜일까요 ?
위 그림과 같이 유체의 단위 volume으로 stress를 받고 있다 가정 할 때, x-direction 방향으로의 net force (dFx)를 구해봅시다.
오른쪽 항은 (∇⋅τ)x 이므로, 똑같이 (∇⋅τ)y, (∇⋅τ)z를 계산해 주면
dF/dV = ∇⋅τ equation (3)
으로 정리 될 수 있습니다. 그럼 오일러 방정식 (eqn. 2)이 점성력만 제외된 Navier-Stokes equation이었으니 eqn. 3을 우변에 추가적으로 더해줍니다 (F = ma 이기 때문에 작용하는 힘들을 선형적으로 더해주어도 문제 없습니다.)
ρ(∂u/∂t + (u ⋅ ∇)u) = -∇p + ∇⋅τ + ρg equation (4)
그런데 eqn. 4 이 자체로는 아직 불완전합니다. 서로 종속적인 term이 이중으로 존재하고 각각의 항이 가진 물리적 의미도 서로 중첩되기도 하죠.
사실 이 부분은 간단하게 설명하기가 참 어렵습니다. 그래서 좀 더 τ와 속도장인 u의 관계에 집중해 보겠습니다.
유체는 stress (τ)를 받으면 strain ()이 생깁니다. 더 큰 힘을 주면 더 많이 변형되기에 τ ~
τ = 2μ
으로 정리 될 수 있습니다. 즉 stress와 strain의 비례 관계가 equal 관계로 바뀌었고, 이때 사용된 2μ라는 비례상수는 수학적 편의성을 위해 채택되었습니다.
그렇다면…. τ = μ(∇u+∇u^T) 또한 성립되고, 이것을 eqn. (4)에 대입하면
ρ(∂u/∂t + (u ⋅ ∇)u) – μ∇⋅(∇u+∇u^T)= -∇p + ρg equation (6)
여기서 ∇⋅(∇u+∇u^T) = ∇²u 이다. 그 이유는 질량 보존 법칙, 즉 ∇⋅u = 0.
Eqn. (6)에서 양변을 ν = μ/ρ 을 적용하면 최종적으로 비압축성 유동에 대한 나비에 스토크스 방정식 eqn. (1)을 얻을 수 있습니다.
이렇게 보면 정말 머리가 아플 정도로 어렵고 복잡해 보이지만, 단순하게 유체에 작용하는 모든 모멘텀 source 나열 한 것입니다. 유체에 작용하는 힘은 유동에 대한 대류 전달, 유체 또는 관 벽면에서 작용하는 shear stress, 압력 구배, 중력 (무게) 등으로 이루어져 있고, 각 항을 3차원 벡터 form으로 걸맞게 쪼개 놓은 것입니다.
수학적 관점에서 보자면, 이 식의 엄밀 해가 항상 존재하는지, 그 해는 특이점 (singularity) 없이 smooth하게 연속되는지, 해가 있다면 어떻게 구하는지 등등이 아직 증명되지 않았습니다. 그렇기 때문에 최신 연구들도 대부분 근사치에 가까운 전산 수치해석 (computational fluid dynamics)에 의존합니다.